Matemática: Juros

Juro é a remuneração cobrada pelo empréstimo de dinheiro. É expresso como um percentual sobre o valor emprestado (taxa de juro) e pode ser calculado de duas formas: juros simples ou juros compostos.

O juro pode ser compreendido como uma espécie de "aluguel sobre o dinheiro". A taxa seria uma compensação paga pelo tomador do empréstimo para ter o direito de usar o dinheiro até o dia do pagamento. O credor, por outro lado, recebe uma compensação por não poder usar esse dinheiro até o dia do pagamento e por correr o risco de não receber o dinheiro de volta (risco de inadimplência).

Juros simples

No regime dos juros simples, a taxa de juros é aplicada sobre o principal (valor emprestado) de forma linear, ou seja, não considera que o saldo da dívida aumenta ou diminui conforme o passar do tempo. A fórmula de juros simples pode ser escrita da seguinte maneira:

$FV=PV(1 + i \cdot n)$

, onde

$FV:$ Valor Futuro (do inglês Future Value)
$PV:$ Valor Presente (do inglês Present Value)
$i:$ Taxa de juros (do inglês Interest Rate)
$n:$ Número de períodos

Exemplo numérico

Uma pessoa toma emprestado $100 ( $PV = 100$ ) para pagar em 2 meses ( $n = 2$ ) com taxa de juros de 10% ao mês ( $i = 0,1$ ), calculados conforme o regime de juros simples. Depois de 2 meses essa pessoa irá pagar $120, conforme a fórmula:

Juros compostos

No regime de juros compostos, os juros de cada período são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Nesse caso, o valor da dívida é sempre corrigida e a taxa de juros é calculada sobre esse valor. A fórmula de juros compostos pode ser escrita da seguinte maneira:

$FV=PV(1+i)^n\,$

, onde

$FV:$ Valor Futuro (do inglês Future Value)
$PV:$ Valor Presente (do inglês Present Value)
$i:$ Taxa de juros (do inglês Interest Rate)
$n:$ Número de períodos

Exemplo numérico

Uma pessoa toma emprestado $100 ( $PV = 100$ ) para pagar em 2 meses ( $n = 2$ ) com taxa de juros de 10% ao mês ( $i = 0,1$ ), calculados conforme o regime de juros compostos. Depois de 2 meses essa pessoa irá pagar $121, conforme a fórmula:

Taxa de juros continuamente composta

O regime de juros compostos também pode ser expresso através da taxa de juros continuamente composta. Apesar de ter o mesmo funcionamento do regime de juros compostos, a taxa de juros continuamente composta apresenta uma fórmula de cálculo diferente. A fórmula da taxa de juros continuamente composta pode ser escrita da seguinte maneira:

$FV=PV \cdot e^{r \cdot n}\,$

, onde

$FV:$ Valor Futuro (do inglês Future Value)
$PV:$ Valor Presente (do inglês Present Value)
$r:$ Taxa de juros continuamente composta
$n:$ Número de períodos
$e:$ Número de Euler, que é equivalente a 2,718281828459...

O valor da taxa de juros $r$ , que é continuamente composta, possui significado diferente do valor da taxa de juros $i$ , usada na primeira fórmula. Porém, como ambas são usadas no regime de juros compostos, existe uma fórmula para fazer a "tradução" de uma taxa para outra:

$i=e^r-1\,$

ou, invertendo os termos,

$r=ln(i+1)\,$

Diferente da taxa de juros composta, a taxa de juros continuamente composta pode ser somada. Por exemplo, se a taxa de juros continuamente composta de janeiro é 3% e a de fevereiro é 4%, a taxa desse bimestre é 7% (esse cálculo não pode ser feito com taxas que não são continuamente compostas). Devido a essa propriedade, elas podem ser usadas para facilitar a interpretação e o tratamento de bases de dados, além de possibilitar que alguns tipos de modelos estatísticos sejam aplicados.

Apesar dessas vantagens, o uso da taxa continuamente composta está concentrado na área acadêmica e no mercado de capitais. Devido à dificuldade de interpretação e cálculo, essa taxa não é usada para divulgar empréstimos bancários ou alternativas de investimento para o público geral.

Exemplo numérico

Uma pessoa toma emprestado $100 ( $PV = 100$ ) para pagar em 2 meses ( $n = 2$ ) com taxa de juros continuamente composta de 10% ao mês ( $r = 0,1$ ). Depois de 2 meses essa pessoa irá pagar $122,14, conforme a fórmula:

Juros simples vs. compostos

A tabela abaixo mostra os valores de um empréstimo de $ 100 com taxa de juros de 10% ao período sob o regime de juros simples e juros compostos. Note que essa tabela apresenta três momentos diferentes:

Para períodos inferiores a 1 ( $n < 1$ ), o regime de juros simples apresenta valores superiores ao regime de juros compostos.
No período 1, o valor é igual para ambos regimes.
Para mais de um período, o regime de juros compostos apresenta valores superiores ao regime de juros simples.

*$n$*	Juros Simples	Juros Compostos
*0,00*	*100,00*	*100,00*
*0,25*	*102,50*	*102,41*
*0,50*	*105,00*	*104,88*
*0,75*	*107,50*	*107,41*
*1,00*	*110,00*	*110,00*
*1,25*	*112,50*	*112,65*
*1,50*	*115,00*	*115,37*
*1,75*	*117,50*	*118,15*
*2,00*	*120,00*	*121,00*
*2,25*	*122,50*	*123,92*

Taxa nominal vs. taxa real

A taxa de juros nominal é remuneração do empréstimo como foi explicado até este ponto. A taxa de juro real leva em consideração a variação verificada no índice de preços, reflectindo a alteração no poder de compra do dinheiro. O seu cálculo advém da equação de Fisher:

$1+i_r=\frac{1+i_n}{1+\pi}$

$i_r:$ Taxa de juros real
$i_n:$ Taxa de juros nominal
$\pi:$ Taxa de inflação

Exemplo numérico

Durante um ano, uma pessoa contrai um empréstimo com uma taxa de juro nominal de 10% ( $i_n = 0,1$ ), e durante o mesmo período o índice de preços cresce 5% - ou seja, a inflação é de 5% ( $\pi = 0,05$ ). A taxa de juros real nesse caso é de 4,76%, conforme a fórmula:

Outras maneiras de calcular de juros

1. Cálculo de juros simples:

Valor em Reais x Taxa de juros x Período (em anos) = Valor Final

Exemplo: Se você tinha R$ 100,00 em um investimento que pagou 6% de juros simples, durante o primeiro ano você ganharia R$ 6,00 em juros.

R$ 100,00 x 0.06 x 1 = R$ 6,00

No final de dois anos, você teria ganho R$ 12,00. A conta continuaria a crescer a uma taxa de R$ 6,00 por ano, apesar dos juros acumulados.

2. Cálculo de juros compostos:

Os juros são pagos no valor original do depósito, mais qualquer juros ganho.

(Valor R$ Original + Juros Ganhos) x Taxa de Juros x Período = Valor Final

Exemplo: Se você tinha R$ 100,00 em um investimento que pagou 6% de juros compostos anualmente, no primeiro ano você ganharia R$ 6,00 em juros.

R$ 100,00 x 0.06 x 1 = R$ 6,00
R$ 100,00 + R$ 6,00 = R$ 106,00

Com juros compostos, no segundo ano você ganharia R$ 6,36 de juros.

O cálculo do segundo ano seria assim:

R$ 106,00 x 0.06 x 1 = R$ 6,36

Matemática

sábado, 21 de abril de 2012

Juros

Juros simples

Juros compostos

Taxa de juros continuamente composta

Juros simples vs. compostos

Taxa nominal vs. taxa real

Outras maneiras de calcular de juros

R$ 106,00 + R$ 6,36 = R$ 112,36

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