Equação da circunferência geral e reduzida

Determinação de centro e raio

Carlos Alberto Campagner*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

1. Equação reduzida da circunferência

Circunferência é lugar geométrico dos pontos de um plano que distam igualmente, ou seja, de uma mesma medida – chamada raio, de um ponto fixo denominado centro.

Obs.: A circunferência é uma linha, enquanto o círculo é a figura plana delimitada pela circunferência.



A dedução da equação da circunferência segue a definição, o lugar geométrico dos pontos (x,y) equidistantes do centro C(x_c, y_c da medida R.

Então:

(x - x_c)² + (y – y_c)² = R² → esta é a chamada equação reduzida da circunferência.

Por exemplo: a equação reduzida de uma circunferência de raio 8 e centro (5,-7) será:

(x – 5)² + (y + 7)² = 8²

Ou:

2. Equação geral da circunferência

A equação geral de uma circunferência é definida quando se desenvolve a equação reduzida. Assim:

(x – x_c)² + (y –y_c)² = R²

(x² – 2x_cx + x²_c) + x² – 2y_cy + y²_c = R²

Reagrupando: x² + y² – 2x_cx – 2y_c y + x²_c + y²_c – R² = 0

Ou de uma maneira generalizada:

x² + y² + mx + ny + p = 0 → está é a equação geral da circunferência.

Onde:



Por exemplo, para uma circunferência de raio 8 e centro (5,-7):

x² + x² – 2 . 5. x – 2 . (–7)y + 5² + (–7)² – 8² = 0

Equação geral:

3. Determinação de centro e raio a partir da equação geral

Para se determinar o centro e o raio de uma circunferência a partir da equação geral

x²y² + mx + nx + p = 0

utilizam-se as equações (I), deduzindo-se que:


Por exemplo, para a circunferência exemplificada,

Logo: 

C(5,-7) e o raio R=8.

Equação Reduzida da Circunferência

A equação reduzida da circunferência é dada pela expressão (x – a)² + (y – b)² = R². Para definir essa expressão vamos analisar a situação da ilustração a seguir:

Na ilustração, a circunferência possui centro C com coordenadas (a, b). O ponto genérico P possui as coordenadas (x, y). Vamos estabelecer a distância entre os pontos C e P utilizando a expressão matemática  , de acordo com as definições da Geometria Analítica.

De acordo com a ilustração gráfica, a distância entre os pontos C e P é considerado o raio da circunferência. Dessa forma, substituiremos D²C,P por R (raio), observe:

(x – a)² + (y – b)² = R²

Vamos determinar a equação reduzida da circunferência com centro C (2, –9) e raio 6.

(x – a)² + (y – b)² = R²
(x – 2)² + (y + 9)² = 6²
(x – 2)² + (y + 9)² = 36

(FEI–SP) Determine a equação da circunferência com centro no ponto C (2, 1) e que passa pelo ponto A (1, 1).

A distância entre o centro C e o ponto P corresponde à medida do raio.

(x – a)² + (y – b)² = R²
(x – 2)² + (y – 1)² = 1²(x – 2)² + (y – 1)² = 1

A equação da circunferência com centro C (2, 1) e que passa pelo ponto A (1, 1) possui como equação reduzida a expressão matemática (x – 2)² + (y – 1)² = 1. A equação geral surgirá do desenvolvimento da expressão reduzida (x – 2)² + (y – 1)² = 1, veja:

(x – 2)² + (y – 1)² = 1
x² – 4x + 4 + y² – 2y + 1 – 1 = 0
x² + y² – 4x – 2y + 4 = 0

Probabilidade,mais detalhada

      Espaço amostral:É o conjunto que possui todos os eventos que podem ocorrer no exercício (casos possíveis);

·                     Amostra ou evento: É um subconjunto do espaço amostral (casos favoráveis);

         EX: Seja um urna contendo 3 bolas pretas e 3 bolas vermelhas. Dessa urna são retiradas sucessivamente 3 bolas.

         Espaço Amostral(S): S = {(PPP),(PPV),(PVP),(PVV),(VPP),(VPV),(VVP),(VVV)}.

         Alguns eventos: 1) 2 das bolas são pretas ? {(PPV),(PVP),(VPP)}.

                                   2) três bolas tem a mesma cor ? {(PPP),(VVV)}

·                     Cálculo da probabilidade:
Probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis.
P_(E) = n_(E) / n_(S)

n(E) = n^o de elementos do evento / n(S) = n^o de elementos do espaço amostral

Exemplo: De um baralho de 52 cartas tiram-se , sucessivamente , sem reposição , duas cartas. Determinar a probabilidade dos eventos:

a)      As duas cartas dão damas

b)      As duas cartas são de ouros

Resolução

a)      Cálculo do número de possibilidades do espaço amostral:

1^º possibilidade: 52

2^º possibilidade: 51

Þ n(U) = 52. 51 = 2652

Cálculo do número de eventos do elemento A: duas damas.

Temos duas damas; portanto: A_{4, 2} = 4 . 3 = 12 Þ n(A) = 12

P(A) = n(A)/n(U) = 12/2652 = 1/221

b)      Cálculo do número de elementos do evento B: duas cartas de ouros.

Temos 13 cartas de ouros, portanto A_{13 , 2} = 13 . 12 = 156

P(B) = n(B)/n(U) = 156/2652 = 1/17

Respostas: a)1/221  b)1/17

Adição de probabilidades

P(AUB) = P(A) + P(B) ? P(A  B)

Exemplo: Qual a probabilidade de se jogar um dado e se obter o número 3 ou um número ímpar?

Resolução: O espaço amostral é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Os eventos são: ocorrência do número 3 Þ A  = {3} Þ n(A) = 1

                          ocorrência de número ímpar Þ B = {1, 3, 5} Þ n(B) = 3

A  B = {3} Þ n(A  B) = 1

P(AUB) = P(A) + P(B) ? P(A  B)

P(AUB) = n(A)/n(U) + n(B)/n(U) ? n(A  B)/n(U)

P(AUB) = 1/6 + 3/6 ?1/6 = 3/6 = ½ ou P(AUB) = 50%

Resposta: 50%

Probabilidade do evento complementar

P(A) + P(A^c) = 1

Exemplo: Consideremos um cnjunto de 10 frutas, das quais 3 estão estragados. Escolhendo ? se aleatoriamente 2 frutas desse conjunto, determinar a probabilidade de que:

a)      Ambas não estejam estragadas

b)      Pelo menos uma esteja estragada

Resolução:

a)      Cálculo do número de maneiras pelas quais duas frutas podem ser escolhidas:

n(U) = (¹⁰₂) = 10!/2!.8! = 45 maneiras

Cálculo do número de maneiras pelas quais duas frutas boas podem ser escolhidas:

n(A) = (⁷₂) = 7!/2!.5! = 21 maneiras

P(A) = n(A)/n(U) = 21/45 = 7 /15

b)      A^c é o evento: pelo menso uma furta está estragada.

P(A) + P(A^c) = 1Þ 7/15 + P(A^c) = 1

P(A^c) = 1 ? 7/15 Þ P(A^c) = 8/15

Respostas: a) 7/15   b) 8/15

Probabilidade condicional

P(A/B) = n(A  B) / n(B)

Exemplo: Numa classe com 60 alunos, 40 estudam só matemática, 10 estudam só física e 5 estudam física e matemática. Determinar a probabilidade de um aluno que estuda Matemática também estudar física.

Resolução: n(M  F) = 5

n(M) = 45

P(F/M) = n(F  M)/n(M) = 5/45 = 1/9

Resposta: 1/9

·                     Probabilidade esperada e probabilidade observada:
Lançamento de moeda
- cara = ½ = 0.5
- coroa = ½ = 0.5
(probabilidade esperada)

·                     Probabilidade de ocorrência de um outro evento:
P(A ou B) = P(A) + P(B) - eventos mutuamente exclusivos.

·                     Regra do ou:
Ex: Em 1 dado qual a probabilidade de se obter os nº 2 ou 3?
      P(2 ou 3) = P(2) + P(3)
      = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 = 0.33 = 33%

·                     Probabilidade de ocorrência de um e outro evento. (REGRA DO "E")
P(A e B) = P(A) x P(B) - "eventos independentes" ·
Ex: Em 2 dados: qual é a probabilidade de se obter o nº6 nos dois dados?
      P(6+6) = 1/6 x 1/6 = 1/36