Progressão Geométrica

Dizemos que uma sequência numérica constitui uma progressão geométrica quando, a partir do 2º termo, o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual. Observe a sequência:

(2, 4, 8, 16, 32, 64,...), dizemos que ela é uma progressão geométrica, pois se encaixa na definição dada.

4 : 2 = 2
8 : 4 = 2
16 : 8 = 2
32 : 16 = 2
64 : 32 = 2

O termo constante da progressão geométrica é denominado razão.

Muitas situações envolvendo sequências são consideradas PG, dessa forma, foi elaborada uma expressão capaz de determinar qualquer elemento de uma progressão geométrica. Veja:

Com base nessa expressão, temos que:

a₂ = a₁ * q
a₃ = a₁ * q² 
a₅ = a₁ * q⁴
a₁₀ = a₁ * q⁹
a₅₀ = a₁*q⁴⁹
a₁₀₀ = a₁*q⁹⁹


Exemplo 1

Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG.

a₈ = 4 * 3⁷
a₈ = 4 * 2187
a₈ = 8748

O 8º termo da PG descrita é o número 8748.

Exemplo 2

Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...), determine o 20º termo.


a₂₀ = 3 * 3¹⁹
a₂₀ = 3 * 1.162.261.467
a₂₀ = 3.486.784.401


Soma dos termos de uma PG

A soma dos termos de uma PG é calculada através da seguinte expressão matemática:

Exemplo 3

Considerando os dados do exemplo 2, determine a soma dos 20 primeiros elementos dessa PG.

Exemplo 4

Uma dona de casa registrou os gastos mensais com supermercado durante todo o ano. Os valores foram os seguintes:

Janeiro: 98,00
Fevereiro: 99,96
Março: 101,96
Abril: 104,00
Maio: 106,08

Calcule o gasto anual dessa dona de casa, considerando que em todos os meses o índice inflacionário foi constante.

Os termos estão em progressão geométrica, observe:

106,08 : 104 = 1,02
104 : 101,96 = 1,02
101,96 : 99,96 = 1,02
99,96 : 98,00 = 1,02

A razão dessa progressão geométrica é dada por 1,02, isto indica que a inflação entre os meses é de 2%. Vamos determinar a soma dos gastos dessa dona de casa, observe:

Os gastos da dona de casa com compras de supermercado, foram equivalentes a
R$ 1.314,39.

Trigonometria do triângulo retângulo e círculo trigonométrico

1) Triângulo retângulo
 

Definições

Ângulos notáveis



2) Medidas de arcos



3) Círculo trigonométrico

Quadrantes

Relações fundamentais

Transformações trigonométricas

Pratique matemática fazendo comparações

Anotação n!, muito usada em problemas de análise combinatória, reserva resultados surpreendentes para valores muito altos de n.

Sabemos, por exemplo, que, em uma sala de aula com 30 alunos e 30 cadeiras fixas, o número total de permutações dos alunos nas cadeiras é igual a 30! (30!=30.29.28...1); mas você saberia dizer qual é a ordem de grandeza desse número ou com que poderíamos compará-lo?

Uma calculadora científica resolve parcialmente a dúvida indicando que o valor de 30! é aproximadamente igual a 2,65.10 elevado a 32. Conclui-se daí que sua ordem de grandeza é 10 elevado a 32, mas resta a incômoda sensação de que isso não nos diz muita coisa do ponto de vista prático. Que tal compararmos então esse número com as gotas de água em uma jarra de cinco litros?

Dez gotas de um conta-gotas comum têm volume aproximado de 1 cm3. Sabendo que um litro é igual a 1.000 cm3, podemos dizer que, em uma jarra de cinco litros, temos um total de 50 mil gotas. Esse resultado é tão pequeno quando comparado a 30! que precisamos aumentar muito o tamanho da jarra para encontrar um padrão de comparação.

Vamos imaginar uma jarra esférica do tamanho da Terra. Quantas gotas de água caberiam nela? Se em dez gotas temos 1 cm3 de água, então teremos 10 elevado a 7 gotas em 1 m3 e 10 elevado a 16 em 1 km3.

Como o raio da Terra mede aproximadamente 6.370 km e a fórmula do volume de uma esfera é (4R3)/3, temos que o volume da Terra é aproximadamente igual a 1,08.10 elevado a 12 km3.

Juntando os dois últimos resultados obtidos, podemos dizer que o hipotético recipiente do tamanho da Terra conteria o equivalente a 1,08.10 elevado a 12.10 elevado a 16 gotas de água, ou seja, um total de 1,08.10 elevado a 28 gotas.

Ainda não chegamos à ordem de grandeza de 30!, mas agora podemos estabelecer o seguinte padrão de comparação: 30! é aproximadamente igual a 20 mil vezes o número de gotas de água que caberiam em um recipiente com o volume da Terra.

Como a água dos oceanos não ocupa o volume inteiro da Terra, podemos dizer que o número de permutações possíveis entre os 30 alunos de uma sala de aula é maior do que 20 mil vezes o número de gotas de água de todos os oceanos da Terra

Equação da circunferência geral e reduzida

Determinação de centro e raio

Carlos Alberto Campagner*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

1. Equação reduzida da circunferência

Circunferência é lugar geométrico dos pontos de um plano que distam igualmente, ou seja, de uma mesma medida – chamada raio, de um ponto fixo denominado centro.

Obs.: A circunferência é uma linha, enquanto o círculo é a figura plana delimitada pela circunferência.



A dedução da equação da circunferência segue a definição, o lugar geométrico dos pontos (x,y) equidistantes do centro C(x_c, y_c da medida R.

Então:

(x - x_c)² + (y – y_c)² = R² → esta é a chamada equação reduzida da circunferência.

Por exemplo: a equação reduzida de uma circunferência de raio 8 e centro (5,-7) será:

(x – 5)² + (y + 7)² = 8²

Ou:

2. Equação geral da circunferência

A equação geral de uma circunferência é definida quando se desenvolve a equação reduzida. Assim:

(x – x_c)² + (y –y_c)² = R²

(x² – 2x_cx + x²_c) + x² – 2y_cy + y²_c = R²

Reagrupando: x² + y² – 2x_cx – 2y_c y + x²_c + y²_c – R² = 0

Ou de uma maneira generalizada:

x² + y² + mx + ny + p = 0 → está é a equação geral da circunferência.

Onde:



Por exemplo, para uma circunferência de raio 8 e centro (5,-7):

x² + x² – 2 . 5. x – 2 . (–7)y + 5² + (–7)² – 8² = 0

Equação geral:

3. Determinação de centro e raio a partir da equação geral

Para se determinar o centro e o raio de uma circunferência a partir da equação geral

x²y² + mx + nx + p = 0

utilizam-se as equações (I), deduzindo-se que:


Por exemplo, para a circunferência exemplificada,

Logo: 

C(5,-7) e o raio R=8.

Equação Reduzida da Circunferência

A equação reduzida da circunferência é dada pela expressão (x – a)² + (y – b)² = R². Para definir essa expressão vamos analisar a situação da ilustração a seguir:

Na ilustração, a circunferência possui centro C com coordenadas (a, b). O ponto genérico P possui as coordenadas (x, y). Vamos estabelecer a distância entre os pontos C e P utilizando a expressão matemática  , de acordo com as definições da Geometria Analítica.

De acordo com a ilustração gráfica, a distância entre os pontos C e P é considerado o raio da circunferência. Dessa forma, substituiremos D²C,P por R (raio), observe:

(x – a)² + (y – b)² = R²

Vamos determinar a equação reduzida da circunferência com centro C (2, –9) e raio 6.

(x – a)² + (y – b)² = R²
(x – 2)² + (y + 9)² = 6²
(x – 2)² + (y + 9)² = 36

(FEI–SP) Determine a equação da circunferência com centro no ponto C (2, 1) e que passa pelo ponto A (1, 1).

A distância entre o centro C e o ponto P corresponde à medida do raio.

(x – a)² + (y – b)² = R²
(x – 2)² + (y – 1)² = 1²(x – 2)² + (y – 1)² = 1

A equação da circunferência com centro C (2, 1) e que passa pelo ponto A (1, 1) possui como equação reduzida a expressão matemática (x – 2)² + (y – 1)² = 1. A equação geral surgirá do desenvolvimento da expressão reduzida (x – 2)² + (y – 1)² = 1, veja:

(x – 2)² + (y – 1)² = 1
x² – 4x + 4 + y² – 2y + 1 – 1 = 0
x² + y² – 4x – 2y + 4 = 0

Probabilidade,mais detalhada

      Espaço amostral:É o conjunto que possui todos os eventos que podem ocorrer no exercício (casos possíveis);

·                     Amostra ou evento: É um subconjunto do espaço amostral (casos favoráveis);

         EX: Seja um urna contendo 3 bolas pretas e 3 bolas vermelhas. Dessa urna são retiradas sucessivamente 3 bolas.

         Espaço Amostral(S): S = {(PPP),(PPV),(PVP),(PVV),(VPP),(VPV),(VVP),(VVV)}.

         Alguns eventos: 1) 2 das bolas são pretas ? {(PPV),(PVP),(VPP)}.

                                   2) três bolas tem a mesma cor ? {(PPP),(VVV)}

·                     Cálculo da probabilidade:
Probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis.
P_(E) = n_(E) / n_(S)

n(E) = n^o de elementos do evento / n(S) = n^o de elementos do espaço amostral

Exemplo: De um baralho de 52 cartas tiram-se , sucessivamente , sem reposição , duas cartas. Determinar a probabilidade dos eventos:

a)      As duas cartas dão damas

b)      As duas cartas são de ouros

Resolução

a)      Cálculo do número de possibilidades do espaço amostral:

1^º possibilidade: 52

2^º possibilidade: 51

Þ n(U) = 52. 51 = 2652

Cálculo do número de eventos do elemento A: duas damas.

Temos duas damas; portanto: A_{4, 2} = 4 . 3 = 12 Þ n(A) = 12

P(A) = n(A)/n(U) = 12/2652 = 1/221

b)      Cálculo do número de elementos do evento B: duas cartas de ouros.

Temos 13 cartas de ouros, portanto A_{13 , 2} = 13 . 12 = 156

P(B) = n(B)/n(U) = 156/2652 = 1/17

Respostas: a)1/221  b)1/17

Adição de probabilidades

P(AUB) = P(A) + P(B) ? P(A  B)

Exemplo: Qual a probabilidade de se jogar um dado e se obter o número 3 ou um número ímpar?

Resolução: O espaço amostral é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Os eventos são: ocorrência do número 3 Þ A  = {3} Þ n(A) = 1

                          ocorrência de número ímpar Þ B = {1, 3, 5} Þ n(B) = 3

A  B = {3} Þ n(A  B) = 1

P(AUB) = P(A) + P(B) ? P(A  B)

P(AUB) = n(A)/n(U) + n(B)/n(U) ? n(A  B)/n(U)

P(AUB) = 1/6 + 3/6 ?1/6 = 3/6 = ½ ou P(AUB) = 50%

Resposta: 50%

Probabilidade do evento complementar

P(A) + P(A^c) = 1

Exemplo: Consideremos um cnjunto de 10 frutas, das quais 3 estão estragados. Escolhendo ? se aleatoriamente 2 frutas desse conjunto, determinar a probabilidade de que:

a)      Ambas não estejam estragadas

b)      Pelo menos uma esteja estragada

Resolução:

a)      Cálculo do número de maneiras pelas quais duas frutas podem ser escolhidas:

n(U) = (¹⁰₂) = 10!/2!.8! = 45 maneiras

Cálculo do número de maneiras pelas quais duas frutas boas podem ser escolhidas:

n(A) = (⁷₂) = 7!/2!.5! = 21 maneiras

P(A) = n(A)/n(U) = 21/45 = 7 /15

b)      A^c é o evento: pelo menso uma furta está estragada.

P(A) + P(A^c) = 1Þ 7/15 + P(A^c) = 1

P(A^c) = 1 ? 7/15 Þ P(A^c) = 8/15

Respostas: a) 7/15   b) 8/15

Probabilidade condicional

P(A/B) = n(A  B) / n(B)

Exemplo: Numa classe com 60 alunos, 40 estudam só matemática, 10 estudam só física e 5 estudam física e matemática. Determinar a probabilidade de um aluno que estuda Matemática também estudar física.

Resolução: n(M  F) = 5

n(M) = 45

P(F/M) = n(F  M)/n(M) = 5/45 = 1/9

Resposta: 1/9

·                     Probabilidade esperada e probabilidade observada:
Lançamento de moeda
- cara = ½ = 0.5
- coroa = ½ = 0.5
(probabilidade esperada)

·                     Probabilidade de ocorrência de um outro evento:
P(A ou B) = P(A) + P(B) - eventos mutuamente exclusivos.

·                     Regra do ou:
Ex: Em 1 dado qual a probabilidade de se obter os nº 2 ou 3?
      P(2 ou 3) = P(2) + P(3)
      = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 = 0.33 = 33%

·                     Probabilidade de ocorrência de um e outro evento. (REGRA DO "E")
P(A e B) = P(A) x P(B) - "eventos independentes" ·
Ex: Em 2 dados: qual é a probabilidade de se obter o nº6 nos dois dados?
      P(6+6) = 1/6 x 1/6 = 1/36

EXPLICAÇÃO DE PROBABILIDADE

Probabilidade: A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. É por isso que usamos muito os jogos de azar como exemplo nos estudos de probabilidade. A teoria da probabilidade serve para mostrar quais as chances de determinado evento ocorrer em um experimento qualquer. Nessa aula você vai aprender probabilidade calculando essas chances.

Experimento Aleatório

É aquele experimento que quando repetido nas mesma condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e chances de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.

Espaço Amostral

É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S.

 

Exemplo:

 

Lançando uma moeda e um dado, juntos, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos:

 

S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}

1. Escreva claramente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}.
2. Idem, o evento em que:

a) A ou B ocorrem;

b) B e C ocorrem;

c) Somente B ocorre.

3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos

Resolução:

1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: A={K2, K4, K6};

Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos por números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}

 

Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}.

2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}

(b) B e C = B Ç C = {R3,R5}

 

(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;

 

B Ç A^cÇ C^c = {K3,K5,R2}

3. A e C são mutuamente exclusivos, porque A Ç C = Æ

Conceito de probabilidade

Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:

 

 

Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%

 

Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.

 

Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:

 

Propriedades importantes:

1. Se A e A? são eventos complementares, então:

 

P( A ) + P( A' ) = 1 

2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).

 

Probabilidade Condicional

Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada.

 

Fórmula de Probabilidade Condicional

 

P(E₁ e E₂ e E₃ e ...e E_n-1 e E_n) é igual aP(E₁).P(E₂/E₁).P(E₃/E₁ e E₂)...P(E_n/E₁ e E₂ e ...E_n-1).

Onde P(E₂/E₁) é a probabilidade de ocorrer E₂, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E₁;

 

P(E₃/E₁ e E₂) é a probabilidade ocorrer E₃, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E₁ e E₂;

 

P(Pn/E₁ e E₂ e ...E_n-1) é a probabilidade de ocorrer E_n, condicionada ao fato de já ter ocorrido E₁ e E₂...E_n-1.

 

Exemplo:

 

Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Caso ocorro o sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

Resolução:

 

Seja o espaço amostral S=30 bolas, bolinhas e considerarmos os seguintes eventos:

 

A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30

 

B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29

 

Assim:

 

P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87

Eventos independentes

Dizemos que E₁ e E₂ e ...E_n-1, E_n são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.

 

Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:

 

P(E₁ e E₂ e E₃ e ...e E_n-1 e E_n) = P(E₁).P(E₂).p(E₃)...P(E_n)

 

Exemplo:

 

Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e respondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

 

Resolução:

 

Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.

Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.

Probabilidade de ocorrer a união de eventos

Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos:

 

P(E₁ ou E₂) = P(E₁) + P(E₂).P(E₁ e E₂)

 

De fato, se existirem elementos comuns a E₁ e E₂, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E₁) e P(E₂). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E₁ e E₂).

 

Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos:

 

P(E1 ou E₂ ou E₃ou ... ou E_n) = P(E₁) + P(E₂) + ... + P(E_n)

Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco?

 

Considerando os eventos:

 

A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6

 

B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6

 

Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:

 

n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 ? 1/36 = 11/36

 

Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente qualquer carta de baralho com 52 cartas, qual a chance de ser um 8 ou um Rei (K)?

 

Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos:

 

A: sair 8 e P(A) = 4/52

 

B: sair um rei e P(B) = 4/52

 

Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 ? 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.

Juros

Juro é a remuneração cobrada pelo empréstimo de dinheiro. É expresso como um percentual sobre o valor emprestado (taxa de juro) e pode ser calculado de duas formas: juros simples ou juros compostos.

O juro pode ser compreendido como uma espécie de "aluguel sobre o dinheiro". A taxa seria uma compensação paga pelo tomador do empréstimo para ter o direito de usar o dinheiro até o dia do pagamento. O credor, por outro lado, recebe uma compensação por não poder usar esse dinheiro até o dia do pagamento e por correr o risco de não receber o dinheiro de volta (risco de inadimplência).

• Juros simples

No regime dos juros simples, a taxa de juros é aplicada sobre o principal (valor emprestado) de forma linear, ou seja, não considera que o saldo da dívida aumenta ou diminui conforme o passar do tempo. A fórmula de juros simples pode ser escrita da seguinte maneira:

, onde

•  Valor Futuro (do inglês Future Value)
•  Valor Presente (do inglês Present Value)
•  Taxa de juros (do inglês Interest Rate)
•  Número de períodos

Exemplo numérico

Uma pessoa toma emprestado $100 () para pagar em 2 meses () com taxa de juros de 10% ao mês (), calculados conforme o regime de juros simples. Depois de 2 meses essa pessoa irá pagar $120, conforme a fórmula:

• Juros compostos

No regime de juros compostos, os juros de cada período são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Nesse caso, o valor da dívida é sempre corrigida e a taxa de juros é calculada sobre esse valor. A fórmula de juros compostos pode ser escrita da seguinte maneira:

, onde

•  Valor Futuro (do inglês Future Value)
•  Valor Presente (do inglês Present Value)
•  Taxa de juros (do inglês Interest Rate)
•  Número de períodos

Exemplo numérico

Uma pessoa toma emprestado $100 () para pagar em 2 meses () com taxa de juros de 10% ao mês (), calculados conforme o regime de juros compostos. Depois de 2 meses essa pessoa irá pagar $121, conforme a fórmula:

• Taxa de juros continuamente composta

O regime de juros compostos também pode ser expresso através da taxa de juros continuamente composta. Apesar de ter o mesmo funcionamento do regime de juros compostos, a taxa de juros continuamente composta apresenta uma fórmula de cálculo diferente. A fórmula da taxa de juros continuamente composta pode ser escrita da seguinte maneira:

, onde

•  Valor Futuro (do inglês Future Value)
•  Valor Presente (do inglês Present Value)
•  Taxa de juros continuamente composta
•  Número de períodos
•  Número de Euler, que é equivalente a 2,718281828459...

O valor da taxa de juros , que é continuamente composta, possui significado diferente do valor da taxa de juros , usada na primeira fórmula. Porém, como ambas são usadas no regime de juros compostos, existe uma fórmula para fazer a "tradução" de uma taxa para outra:

ou, invertendo os termos,

Diferente da taxa de juros composta, a taxa de juros continuamente composta pode ser somada. Por exemplo, se a taxa de juros continuamente composta de janeiro é 3% e a de fevereiro é 4%, a taxa desse bimestre é 7% (esse cálculo não pode ser feito com taxas que não são continuamente compostas). Devido a essa propriedade, elas podem ser usadas para facilitar a interpretação e o tratamento de bases de dados, além de possibilitar que alguns tipos de modelos estatísticos sejam aplicados.

Apesar dessas vantagens, o uso da taxa continuamente composta está concentrado na área acadêmica e no mercado de capitais. Devido à dificuldade de interpretação e cálculo, essa taxa não é usada para divulgar empréstimos bancários ou alternativas de investimento para o público geral.

Exemplo numérico

Uma pessoa toma emprestado $100 () para pagar em 2 meses () com taxa de juros continuamente composta de 10% ao mês (). Depois de 2 meses essa pessoa irá pagar $122,14, conforme a fórmula:

• Juros simples vs. compostos

A tabela abaixo mostra os valores de um empréstimo de $ 100 com taxa de juros de 10% ao período sob o regime de juros simples e juros compostos. Note que essa tabela apresenta três momentos diferentes:

• Para períodos inferiores a 1 (), o regime de juros simples apresenta valores superiores ao regime de juros compostos.
• No período 1, o valor é igual para ambos regimes.
• Para mais de um período, o regime de juros compostos apresenta valores superiores ao regime de juros simples.

	Juros Simples	Juros Compostos
0,00	100,00	100,00
0,25	102,50	102,41
0,50	105,00	104,88
0,75	107,50	107,41
1,00	110,00	110,00
1,25	112,50	112,65
1,50	115,00	115,37
1,75	117,50	118,15
2,00	120,00	121,00
2,25	122,50	123,92

• Taxa nominal vs. taxa real

A taxa de juros nominal é remuneração do empréstimo como foi explicado até este ponto. A taxa de juro real leva em consideração a variação verificada no índice de preços, reflectindo a alteração no poder de compra do dinheiro. O seu cálculo advém da equação de Fisher:

•  Taxa de juros real
•  Taxa de juros nominal
•  Taxa de inflação

Exemplo numérico

Durante um ano, uma pessoa contrai um empréstimo com uma taxa de juro nominal de 10% (), e durante o mesmo período o índice de preços cresce 5% - ou seja, a inflação é de 5% (). A taxa de juros real nesse caso é de 4,76%, conforme a fórmula:

• Outras maneiras de calcular de juros

1. Cálculo de juros simples:

Valor em Reais x Taxa de juros x Período (em anos) = Valor Final

Exemplo: Se você tinha R$ 100,00 em um investimento que pagou 6% de juros simples, durante o primeiro ano você ganharia R$ 6,00 em juros.

R$ 100,00 x 0.06 x 1 = R$ 6,00

No final de dois anos, você teria ganho R$ 12,00. A conta continuaria a crescer a uma taxa de R$ 6,00 por ano, apesar dos juros acumulados.

2. Cálculo de juros compostos:

Os juros são pagos no valor original do depósito, mais qualquer juros ganho.

(Valor R$ Original + Juros Ganhos) x Taxa de Juros x Período = Valor Final

Exemplo: Se você tinha R$ 100,00 em um investimento que pagou 6% de juros compostos anualmente, no primeiro ano você ganharia R$ 6,00 em juros.

R$ 100,00 x 0.06 x 1 = R$ 6,00
R$ 100,00 + R$ 6,00 = R$ 106,00

Com juros compostos, no segundo ano você ganharia R$ 6,36 de juros.

O cálculo do segundo ano seria assim:

R$ 106,00 x 0.06 x 1 = R$ 6,36

R$ 106,00 + R$ 6,36 = R$ 112,36