Progressão Geométrica

Dizemos que uma sequência numérica constitui uma progressão geométrica quando, a partir do 2º termo, o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual. Observe a sequência:

(2, 4, 8, 16, 32, 64,...), dizemos que ela é uma progressão geométrica, pois se encaixa na definição dada.

4 : 2 = 2
8 : 4 = 2
16 : 8 = 2
32 : 16 = 2
64 : 32 = 2

O termo constante da progressão geométrica é denominado razão.

Muitas situações envolvendo sequências são consideradas PG, dessa forma, foi elaborada uma expressão capaz de determinar qualquer elemento de uma progressão geométrica. Veja:

Com base nessa expressão, temos que:

a₂ = a₁ * q
a₃ = a₁ * q² 
a₅ = a₁ * q⁴
a₁₀ = a₁ * q⁹
a₅₀ = a₁*q⁴⁹
a₁₀₀ = a₁*q⁹⁹


Exemplo 1

Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG.

a₈ = 4 * 3⁷
a₈ = 4 * 2187
a₈ = 8748

O 8º termo da PG descrita é o número 8748.

Exemplo 2

Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...), determine o 20º termo.


a₂₀ = 3 * 3¹⁹
a₂₀ = 3 * 1.162.261.467
a₂₀ = 3.486.784.401


Soma dos termos de uma PG

A soma dos termos de uma PG é calculada através da seguinte expressão matemática:

Exemplo 3

Considerando os dados do exemplo 2, determine a soma dos 20 primeiros elementos dessa PG.

Exemplo 4

Uma dona de casa registrou os gastos mensais com supermercado durante todo o ano. Os valores foram os seguintes:

Janeiro: 98,00
Fevereiro: 99,96
Março: 101,96
Abril: 104,00
Maio: 106,08

Calcule o gasto anual dessa dona de casa, considerando que em todos os meses o índice inflacionário foi constante.

Os termos estão em progressão geométrica, observe:

106,08 : 104 = 1,02
104 : 101,96 = 1,02
101,96 : 99,96 = 1,02
99,96 : 98,00 = 1,02

A razão dessa progressão geométrica é dada por 1,02, isto indica que a inflação entre os meses é de 2%. Vamos determinar a soma dos gastos dessa dona de casa, observe:

Os gastos da dona de casa com compras de supermercado, foram equivalentes a
R$ 1.314,39.

Trigonometria do triângulo retângulo e círculo trigonométrico

1) Triângulo retângulo
 

Definições

Ângulos notáveis



2) Medidas de arcos



3) Círculo trigonométrico

Quadrantes

Relações fundamentais

Transformações trigonométricas

Pratique matemática fazendo comparações

Anotação n!, muito usada em problemas de análise combinatória, reserva resultados surpreendentes para valores muito altos de n.

Sabemos, por exemplo, que, em uma sala de aula com 30 alunos e 30 cadeiras fixas, o número total de permutações dos alunos nas cadeiras é igual a 30! (30!=30.29.28...1); mas você saberia dizer qual é a ordem de grandeza desse número ou com que poderíamos compará-lo?

Uma calculadora científica resolve parcialmente a dúvida indicando que o valor de 30! é aproximadamente igual a 2,65.10 elevado a 32. Conclui-se daí que sua ordem de grandeza é 10 elevado a 32, mas resta a incômoda sensação de que isso não nos diz muita coisa do ponto de vista prático. Que tal compararmos então esse número com as gotas de água em uma jarra de cinco litros?

Dez gotas de um conta-gotas comum têm volume aproximado de 1 cm3. Sabendo que um litro é igual a 1.000 cm3, podemos dizer que, em uma jarra de cinco litros, temos um total de 50 mil gotas. Esse resultado é tão pequeno quando comparado a 30! que precisamos aumentar muito o tamanho da jarra para encontrar um padrão de comparação.

Vamos imaginar uma jarra esférica do tamanho da Terra. Quantas gotas de água caberiam nela? Se em dez gotas temos 1 cm3 de água, então teremos 10 elevado a 7 gotas em 1 m3 e 10 elevado a 16 em 1 km3.

Como o raio da Terra mede aproximadamente 6.370 km e a fórmula do volume de uma esfera é (4R3)/3, temos que o volume da Terra é aproximadamente igual a 1,08.10 elevado a 12 km3.

Juntando os dois últimos resultados obtidos, podemos dizer que o hipotético recipiente do tamanho da Terra conteria o equivalente a 1,08.10 elevado a 12.10 elevado a 16 gotas de água, ou seja, um total de 1,08.10 elevado a 28 gotas.

Ainda não chegamos à ordem de grandeza de 30!, mas agora podemos estabelecer o seguinte padrão de comparação: 30! é aproximadamente igual a 20 mil vezes o número de gotas de água que caberiam em um recipiente com o volume da Terra.

Como a água dos oceanos não ocupa o volume inteiro da Terra, podemos dizer que o número de permutações possíveis entre os 30 alunos de uma sala de aula é maior do que 20 mil vezes o número de gotas de água de todos os oceanos da Terra