Equação da circunferência geral e reduzida

Determinação de centro e raio

Carlos Alberto Campagner*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

1. Equação reduzida da circunferência

Circunferência é lugar geométrico dos pontos de um plano que distam igualmente, ou seja, de uma mesma medida – chamada raio, de um ponto fixo denominado centro.

Obs.: A circunferência é uma linha, enquanto o círculo é a figura plana delimitada pela circunferência.



A dedução da equação da circunferência segue a definição, o lugar geométrico dos pontos (x,y) equidistantes do centro C(x_c, y_c da medida R.

Então:

(x - x_c)² + (y – y_c)² = R² → esta é a chamada equação reduzida da circunferência.

Por exemplo: a equação reduzida de uma circunferência de raio 8 e centro (5,-7) será:

(x – 5)² + (y + 7)² = 8²

Ou:

2. Equação geral da circunferência

A equação geral de uma circunferência é definida quando se desenvolve a equação reduzida. Assim:

(x – x_c)² + (y –y_c)² = R²

(x² – 2x_cx + x²_c) + x² – 2y_cy + y²_c = R²

Reagrupando: x² + y² – 2x_cx – 2y_c y + x²_c + y²_c – R² = 0

Ou de uma maneira generalizada:

x² + y² + mx + ny + p = 0 → está é a equação geral da circunferência.

Onde:



Por exemplo, para uma circunferência de raio 8 e centro (5,-7):

x² + x² – 2 . 5. x – 2 . (–7)y + 5² + (–7)² – 8² = 0

Equação geral:

3. Determinação de centro e raio a partir da equação geral

Para se determinar o centro e o raio de uma circunferência a partir da equação geral

x²y² + mx + nx + p = 0

utilizam-se as equações (I), deduzindo-se que:


Por exemplo, para a circunferência exemplificada,

Logo: 

C(5,-7) e o raio R=8.

Equação Reduzida da Circunferência

A equação reduzida da circunferência é dada pela expressão (x – a)² + (y – b)² = R². Para definir essa expressão vamos analisar a situação da ilustração a seguir:

Na ilustração, a circunferência possui centro C com coordenadas (a, b). O ponto genérico P possui as coordenadas (x, y). Vamos estabelecer a distância entre os pontos C e P utilizando a expressão matemática  , de acordo com as definições da Geometria Analítica.

De acordo com a ilustração gráfica, a distância entre os pontos C e P é considerado o raio da circunferência. Dessa forma, substituiremos D²C,P por R (raio), observe:

(x – a)² + (y – b)² = R²

Vamos determinar a equação reduzida da circunferência com centro C (2, –9) e raio 6.

(x – a)² + (y – b)² = R²
(x – 2)² + (y + 9)² = 6²
(x – 2)² + (y + 9)² = 36

(FEI–SP) Determine a equação da circunferência com centro no ponto C (2, 1) e que passa pelo ponto A (1, 1).

A distância entre o centro C e o ponto P corresponde à medida do raio.

(x – a)² + (y – b)² = R²
(x – 2)² + (y – 1)² = 1²(x – 2)² + (y – 1)² = 1

A equação da circunferência com centro C (2, 1) e que passa pelo ponto A (1, 1) possui como equação reduzida a expressão matemática (x – 2)² + (y – 1)² = 1. A equação geral surgirá do desenvolvimento da expressão reduzida (x – 2)² + (y – 1)² = 1, veja:

(x – 2)² + (y – 1)² = 1
x² – 4x + 4 + y² – 2y + 1 – 1 = 0
x² + y² – 4x – 2y + 4 = 0