sábado, 21 de abril de 2012

Juros


Juro é a remuneração cobrada pelo empréstimo de dinheiro. É expresso como um percentual sobre o valor emprestado (taxa de juro) e pode ser calculado de duas formas: juros simples ou juros compostos.
O juro pode ser compreendido como uma espécie de "aluguel sobre o dinheiro". A taxa seria uma compensação paga pelo tomador do empréstimo para ter o direito de usar o dinheiro até o dia do pagamento. O credor, por outro lado, recebe uma compensação por não poder usar esse dinheiro até o dia do pagamento e por correr o risco de não receber o dinheiro de volta (risco de inadimplência).

  • Juros simples

No regime dos juros simples, a taxa de juros é aplicada sobre o principal (valor emprestado) de forma linear, ou seja, não considera que o saldo da dívida aumenta ou diminui conforme o passar do tempo. A fórmula de juros simples pode ser escrita da seguinte maneira:
FV=PV(1 + i \cdot n)
, onde
  • FV: Valor Futuro (do inglês Future Value)
  • PV: Valor Presente (do inglês Present Value)
  • i: Taxa de juros (do inglês Interest Rate)
  • n: Número de períodos
Exemplo numérico
Uma pessoa toma emprestado $100 (PV = 100) para pagar em 2 meses (n = 2) com taxa de juros de 10% ao mês (i = 0,1 ), calculados conforme o regime de juros simples. Depois de 2 meses essa pessoa irá pagar $120, conforme a fórmula:
  
   \begin{align}
   FV & = 100 \cdot \left ( 1 + 0,1 \cdot 2 \right ) \\
   & = 100 \cdot \left ( 1 + 0,2 \right ) \\
   & = 100 \cdot 1,2 \\
   & = 120
   \end{align}

  • Juros compostos

No regime de juros compostos, os juros de cada período são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Nesse caso, o valor da dívida é sempre corrigida e a taxa de juros é calculada sobre esse valor. A fórmula de juros compostos pode ser escrita da seguinte maneira:
FV=PV(1+i)^n\,
, onde
  • FV: Valor Futuro (do inglês Future Value)
  • PV: Valor Presente (do inglês Present Value)
  • i: Taxa de juros (do inglês Interest Rate)
  • n: Número de períodos
Exemplo numérico
Uma pessoa toma emprestado $100 (PV = 100) para pagar em 2 meses (n = 2) com taxa de juros de 10% ao mês (i = 0,1), calculados conforme o regime de juros compostos. Depois de 2 meses essa pessoa irá pagar $121, conforme a fórmula:
  
   \begin{align}
   FV & = 100 \cdot \left ( 1 + 0,1 \right )^2 \\
   & = 100 \cdot \left ( 1,1 \right )^2 \\
   & = 100 \cdot 1,1 \cdot 1,1 \\
   & = 110 \cdot 1,1 \\
   & = 121
   \end{align}

  • Taxa de juros continuamente composta

O regime de juros compostos também pode ser expresso através da taxa de juros continuamente composta. Apesar de ter o mesmo funcionamento do regime de juros compostos, a taxa de juros continuamente composta apresenta uma fórmula de cálculo diferente. A fórmula da taxa de juros continuamente composta pode ser escrita da seguinte maneira:
FV=PV \cdot e^{r \cdot n}\,
, onde
  • FV: Valor Futuro (do inglês Future Value)
  • PV: Valor Presente (do inglês Present Value)
  • r: Taxa de juros continuamente composta
  • n: Número de períodos
  • e: Número de Euler, que é equivalente a 2,718281828459...
O valor da taxa de juros r, que é continuamente composta, possui significado diferente do valor da taxa de juros i, usada na primeira fórmula. Porém, como ambas são usadas no regime de juros compostos, existe uma fórmula para fazer a "tradução" de uma taxa para outra:
i=e^r-1\,
ou, invertendo os termos,
r=ln(i+1)\,
Diferente da taxa de juros composta, a taxa de juros continuamente composta pode ser somada. Por exemplo, se a taxa de juros continuamente composta de janeiro é 3% e a de fevereiro é 4%, a taxa desse bimestre é 7% (esse cálculo não pode ser feito com taxas que não são continuamente compostas). Devido a essa propriedade, elas podem ser usadas para facilitar a interpretação e o tratamento de bases de dados, além de possibilitar que alguns tipos de modelos estatísticos sejam aplicados.
Apesar dessas vantagens, o uso da taxa continuamente composta está concentrado na área acadêmica e no mercado de capitais. Devido à dificuldade de interpretação e cálculo, essa taxa não é usada para divulgar empréstimos bancários ou alternativas de investimento para o público geral.
Exemplo numérico
Uma pessoa toma emprestado $100 (PV = 100) para pagar em 2 meses (n = 2) com taxa de juros continuamente composta de 10% ao mês (r = 0,1). Depois de 2 meses essa pessoa irá pagar $122,14, conforme a fórmula:
  
   \begin{align}
   FV & = 100 \cdot e ^{0,1 \cdot 2} \\
   & = 100 \cdot e^{0,2} \\
   & = 100 \cdot 2,718281828459 \cdots ^{0,2} \\
   & = 100 \cdot 1,2214 \\
   & = 122,14
   \end{align}

  • Juros simples vs. compostos

A tabela abaixo mostra os valores de um empréstimo de $ 100 com taxa de juros de 10% ao período sob o regime de juros simples e juros compostos. Note que essa tabela apresenta três momentos diferentes:
  • Para períodos inferiores a 1 (n < 1), o regime de juros simples apresenta valores superiores ao regime de juros compostos.
  • No período 1, o valor é igual para ambos regimes.
  • Para mais de um período, o regime de juros compostos apresenta valores superiores ao regime de juros simples.
nJuros SimplesJuros Compostos
0,00100,00100,00
0,25102,50102,41
0,50105,00104,88
0,75107,50107,41
1,00110,00110,00
1,25112,50112,65
1,50115,00115,37
1,75117,50118,15
2,00120,00121,00
2,25122,50123,92

  • Taxa nominal vs. taxa real

A taxa de juros nominal é remuneração do empréstimo como foi explicado até este ponto. A taxa de juro real leva em consideração a variação verificada no índice de preços, reflectindo a alteração no poder de compra do dinheiro. O seu cálculo advém da equação de Fisher:
1+i_r=\frac{1+i_n}{1+\pi}
  • i_r: Taxa de juros real
  • i_n: Taxa de juros nominal
  • \pi: Taxa de inflação
Exemplo numérico
Durante um ano, uma pessoa contrai um empréstimo com uma taxa de juro nominal de 10% (i_n = 0,1), e durante o mesmo período o índice de preços cresce 5% - ou seja, a inflação é de 5% (\pi = 0,05). A taxa de juros real nesse caso é de 4,76%, conforme a fórmula:
  
   \begin{align}
   1 + i_r & = \frac {1 + 0,1} {1 + 0,05} \\
   1 + i_r & = \frac {1,1} {1,05} \\
   i_r & = 1,0476 - 1 \\
   i_r & = 0,0476 \\
   i_r & = 4,76% \\
   \end{align}


  • Outras maneiras de calcular de juros

1. Cálculo de juros simples:

Valor em Reais x Taxa de juros x Período (em anos) = Valor Final

Exemplo: Se você tinha R$ 100,00 em um investimento que pagou 6% de juros simples, durante o primeiro ano você ganharia R$ 6,00 em juros.

R$ 100,00 x 0.06 x 1 = R$ 6,00

No final de dois anos, você teria ganho R$ 12,00. A conta continuaria a crescer a uma taxa de R$ 6,00 por ano, apesar dos juros acumulados.

2. Cálculo de juros compostos:

Os juros são pagos no valor original do depósito, mais qualquer juros ganho.

(Valor R$ Original + Juros Ganhos) x Taxa de Juros x Período = Valor Final

Exemplo: Se você tinha R$ 100,00 em um investimento que pagou 6% de juros compostos anualmente, no primeiro ano você ganharia R$ 6,00 em juros.

R$ 100,00 x 0.06 x 1 = R$ 6,00
R$ 100,00 + R$ 6,00 = R$ 106,00

Com juros compostos, no segundo ano você ganharia R$ 6,36 de juros.

O cálculo do segundo ano seria assim:

R$ 106,00 x 0.06 x 1 = R$ 6,36

R$ 106,00 + R$ 6,36 = R$ 112,36

Postado por às 2 comentários:

quinta-feira, 5 de abril de 2012

Progressão aritmética

Progressão Aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. O número r é chamado de razão ou diferença comum da progressão aritmética.
Alguns exemplos de progressões aritméticas:
  • 1, 4, 7, 10, 13, ..., é uma progressão aritmética em que a razão (a diferença entre os números consecutivos) é igual a 3.
  • -2, -4, -6, -8, -10, ..., é uma P.A. em que r = -2.
  • 6, 6, 6, 6, 6, ..., é uma P.A. com r = 0.
Numa progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é, a_{n} = (a_{n-1} + a_{n+1}) / 2.

Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética

O n-ésimo termo de uma progressão aritmética, denotado por a_n, pode ser obtido por meio da formula
a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r,
em que:
  • a_1 é o primeiro termo;
  • r é a razão.
Por meio da formula acima também é possível inserir (ou interpolar) uma quantidade de meios aritméticos entre dois números dados, de modo que eles formem parte de uma progressão aritmética.Esse procedimento é chamado de interpolação aritmética.


Demonstração

A fórmula do termo geral pode ser demonstrada por indução matemática:
  • Ela é válida para o segundo termo pois, por definição, cada termo é igual ao anterior mais uma constante fixa r e portanto a_2 = a_1 + 1 \cdot r;
  • Assumindo como hipótese de indução que a fórmula é válida para n-1, ou seja, que a_{n-1} = a_1 + (n - 2) \cdot r, resulta que o n-ésimo termo é dado por:
a_n = a_{n-1} + r = (a_1 + (n - 2) \cdot r) + r = a_1 + ((n - 2) \cdot r + r) = a_1 + (n - 1) \cdot r.
De forma análoga, demonstra-se a seguinte fórmula, que expressa o n-ésimo termo em função do m-ésimo termo, para quaisquer inteiros positivos m e n:
a_n = a_m + (n - m) \cdot r

Soma dos termos de uma progressão aritmética

A soma dos termos de uma progressão aritmética situados no intervalo fechado de a_p até a_q é calculada pela seguinte fórmula:
S_{(p,q)}=\frac{(q - p + 1) \cdot (a_p + a_q)}{2}.
Em particular, para somar os n primeiros termos, pode-se utilizar a seguinte simplificação da fórmula anterior:
S_n=\frac{n \left(\cdot a_1 + a_n\right)}{2}.
Diz a lenda que Gauss fora punido pelo professor (por estar desatento numa de suas aulas do ciclo primário de matemática) com a tarefa de somar todos os números inteiros de 1 a 100. Apercebeu-se desta fórmula e utilizou-a para calcular imediatamente a soma pedida. Ao apresentar sua resposta, o professor disse ser impossível o garoto ter realizado a tarefa em tão pouco tempo e duvidou da resposta de Gauss. O garoto só foi levado a sério no final da aula, quando os outros alunos obtiveram a resposta. Dizem também que Gauss chegou a ser punido fisicamente por questionar o professor.

Tipos de progressões aritméticas

Progressão aritmética constante

Uma progressão aritmética constante ou estacionária é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero.
Exemplos de progressões aritméticas constantes:
  • 5, 5, 5, 5, 5, ..., tem razão r = 0
  • 0, 0, 0, 0, 0, ..., tem razão r = 0

Progressão aritmética crescente

Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r>0).
Exemplos de progressões aritméticas crescentes:
  • 2, 4, 6, 8, 10, ..., com razão r = 2
  • 3, 6, 9, 12, 15, ..., com razão r = 3

Progressão aritmética decrescente

Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre menor do que zero (r<0).
Exemplos de progressões aritméticas decrescentes:
  • 6, 4, 2, 0, -2, ..., tem razão igual a -2
  • 6, 3, 0, -3, -6, ..., tem razão igual a -3

Progressão aritmética de segunda ordem

Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência de números em que as diferenças entre os termos consecutivos segue uma progressão aritmética. Por exemplo, na sequência
1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73, ...,
se subtrairmos o primeiro termo da sequência do segundo, teremos como resultado o número 2. Já a diferença entre o segundo e terceiro termos é igual a 4, a diferença entre o terceiro e o quarto termos é igual a 6, e assim sucessivamente. Verificamos que a diferença entre os termos da sequência cresce em progressão aritmética de razão igual a 2, ou seja, assume os valores 2, 4, 6, 8 e assim por diante.
Seguindo o mesmo raciocínio, podemos definir progressões aritméticas de ordem 3: são sequências numéricas cuja diferença entre os termos formam uma progressão aritmética de ordem 2. Por analogia, podemos definir progressões aritméticas de ordem n.
O estudo da soma dos termos dessas sequências serve como introdução ao cálculo de integrais de funções polinomiais. 

Exemplos:

1) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13o termo:
- Primeiro devemos coletar todas informações do problema:
          a1=5     r=11    a13=?
        - Para calcular vamos utilizar a fórmula do termo geral, onde an será o a13, portanto n=13. Agora, substituindo:
        a13 = 5 + (13 - 1).11
        a13 = 5 + (12).11
        a13 = 5 + 132
        a13 = 137

2) Dados a5 = 100 e r = 10, calcule o primeiro termo:
        a5 = a1 + (5 - 1).r
        100 = a1 + (5 - 1).10
        100 = a1 + 40
        100 - 40 = a1
        a1 = 60
4) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:
   - informações do problema:
        a1 = 23      r = -6      an = -13      n=?
        - Substituindo na fórmula do termo geral:
        an  = a1 + (n-1)r
        -13 = 23 + (n - 1).(-6)
        -13 - 23 = -6n + 6
        -36 - 6 = -6n
        -42 = -6n      Vamos multiplicar os dois lados por (-1)
        6n = 42
        n = 42/6
        n = 7   

Postado por às 3 comentários:
Assinar: Postagens (Atom)